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《张量分析简明教程》

当今,对于一个力学工作者来说,张量分析实在是一个极其重要的数学工具。力学是自然科学中最早建立完备科学体系的一门学科,也是在自然科学中运用定量分析工具——数学最多的一门学科。几个世纪以来,数学和力学之间的相互影响是十分显著的。一方面,力学充分使用数学来表述和预测;另一方面,力学的需要又促进了数学的发展。德裔美国力学教授 W.Flügge在他的《张量分析与连续介质力学》的“序”中写道:“由于牛顿动力学的需要产生了微积分,为了对力系的描述发展了矢量代数,对速度场和力场的研究发展了矢量分析,从力学的能量原理中产生了变分法”。又写道,“张量(Tensor)这个名字本身就表明它的来源是弹性理论。”今天,不熟悉张量分析的人去阅读连续介质力学的文献时会感到困难。所以,不仅是高等学校的理工科学生,而且许多工程技术人员都产生了掌握张量分析这一数学工具的愿望。
表达非线性连续介质力学的基本方程需要张量分析的显而易见的理由是因为连续介质力学的基本量——应力和应变——都是张量。然而,更重要的是,大变形或者—
几何非线性的描述必需张量分析。事实上,当结构发生大变形时,我们通常无法在一个整体坐标系中同时去描述初始构形和当前构形两者。合理的做法是在初始构形上设置局部坐标,它随体变形,又成为当前构形上的局部坐标。这就产生了一个问题,就是,即使初始构形上的局部坐标可以选择正交坐标系,也无法保证大变形后,当前构形上的坐标仍然是正交的。所以,对于大变形的完整描述,必须在一般的曲线坐标系中进行。于是,对于一个坐标系就必须采用两套基矢量——协变基矢量和逆变基矢量。而且基矢量必须参与求导,这就有了协变导数,等等。这就是张量分析的逻辑。于是就有了非线性连续介质力学。

前言
1 曲线坐标系
1.1 斜角直线坐标系
1.2 曲线坐标系的基矢量1.3 坐标变换与基变换
1.4 张量(tansor)
1.5 张量的实体表示
1.6 度量张量
1.7 矢量的叉积、混合积和置换张量
1.8 Ricci 符号和行列式
1.9 张量的代数运算
1.10 例题
习题—
2 张量场论2.1 引言
2.2 克里斯托夫(Christoffel)符号
2.3 协变导数
2.4 张量对坐标的导数,张量的梯度
2.5 散度和旋度
2.6 高阶导数和拉普拉斯算子
2.7 正交曲线坐标系
2.8 积分定理
2.9 无量纲自然基标架和物理分量
2.10 正交曲线坐标系下的物理分量
2.11例题

 

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